Derivasjon er i matematikken eitt av to sentrale emne innan differensialrekning. Det andre er integrasjon.
Den deriverte gjev den momentane endringa til ein funksjon. For reelle funksjonar av ein variabel vert denne verdien kalla for funksjonen sitt stigningstal. Stigningstalet er definert som stigninga til tangenten til funksjonen i punktet og kan estimerast ved hjelp av sekantar. Ikkje alle funksjonar er deriverbare overalt. Til dømes for ein funksjon funksjon som er diskontinuerleg eller har ein loddrett tangent i eit punkt, vil den deriverte vere udefinert for dette punktet.
Diskontinuerleg; ein funksjon som har eitt eller fleire verdiar der han ikkje er definert.
Kritisk punkt; eit punkt der den deriverte er lik 0.
Lokalt maks/min punkt; eit eller fleire kritiske punkt som har dei høgaste eller lågaste verdiane innanfor eit avgrensa definisjonsområde.
Absolutt maks/min punkt; eit eller fleire kritiske punkt som har dei høgaste eller lågaste verdiane, for alle definerbare verdiar. Absolutte maks/min punkt kan i mange tilfelle ikkje eksistere i det heile tatt t.d.:
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},\quad x\in (0,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efa7fffc76706562ab5cee8c0d0782dcac772c7)
For ein reell funksjon av ein variabel,
, er det vanleg å skrive
,
,
og
,
, for respektive første-, andre-, tredje- og høgare-ordens deriverte.
I Leibniz sin notasjon vert symbolet
nytta for derivasjon med omsyn på
. Vi skriv då
eller
for den deriverte til
. Dei høgare ordens deriverte vert skrive
eller
. Ideen bak denne notasjonen er at differensiala
og
representerer «infinitesimale endringar» i verdiane til respektive
og
.
Newton sin notasjon vert nytta innan fysikk og mekanikk, og spesielt når variabelen omhandlar tid. I denne notasjonen vert derivasjon skrive ved å sette prikkar over funksjonen. Til dømes om
er ein funksjon av
, så er
og
respektive den første- og andre-deriverte av
.
I Euler sin notasjon er ideen å tenke på derivasjon som ein operator som verkar på funksjonar. Derivasjonsoperatoren vert skrive som
, og vi skriv
,
,
og
for første-, andre-, tredje- og høgare-ordens deriverte. Dersom ein ønskjer å presisere at derivasjonen vert teke med omsyn på variabelen
, kan ein skrive
.
Ofte vil ein funksjon
vere gjeve ved ein formel, bygd opp frå kjende funksjonar ved operasjonane addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og samansetting. Derivasjonsreglane viser oss samanhengane mellom den deriverte til formelen og dei deriverte til bestanddelane. Så søker ein i lista over derivasjonsformlar for å finne dei deriverte til bestanddelane (dei kjende funksjonane som inngår i formelen).
Tenk at funksjonane
og
er deriverbare i punktet
og at
er ein konstant. Då er òg
,
,
,
og
(føresett at
) òg deriverbare i
, og den deriverte er gjeve ved:
![{\displaystyle \ (cf)'(x)=c\cdot f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f631dbdb543ad3ea3b08546d93a4eef146de6c8)
![{\displaystyle \ (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c1310a723e28feb320c3c19c12d3553e031991)
![{\displaystyle \ (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35937acffd1f96180f1b444fadc9fd6e88b64092)
- Produktregelen:
![{\displaystyle \ (f\cdot g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68d128b64a10bee5017a8be10ae0706e4698111)
- Kvotientregelen:
![{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e601f7ef52620db29c71c1864b44f46b54cc2d92)
Kjerneregelen: Tenk at
er deriverbar i
og
er deriverbar i
. Då er den samansette funksjonen
gitt ved
òg deriverbar i
og den deriverte er gjeve ved:
![{\displaystyle \ h'(x)=(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b1d47e2bdcdb90903ae401d3cf11c5e4a68b34)
Den deriverte til den omvendte funksjonen: Tenk at
er ein kontinuerleg, strengt monoton funksjon, som er deriverbar i punktet
med
. Då er den omvendte funksjonen
deriverbar i
og vi har
.
- Generelle tilfelle
- For ein konstant
er
.
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fea5b7f45755c648979367ebdfdbb7f3d69b552)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{2}=2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec861e4963a54dadc47ec91f72d0dff0eb1ce79)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{3}=3x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b77230d8c66023a923801561d17d0078f77241)
![{\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}ax^{n}=nax^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb37005f6214c48a2ef21cd8bf15b91d420f7e3)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73009c3b748b618a2d4d824ac42cc3fbda64f65e)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648883c84a316c507d10d3d64420f267252c1bcc)
- For eksponentielle funksjonar
der
er Eulertalet.
der
.
- For logaritmiske funksjonar
for
, her er
den naturlege logaritmen.
for
.
- For trigonometriske funksjonar
![{\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\sin x=\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c820d57bbd8d7e1954e320d7a2b4e2d12c3da8)
![{\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\cos x=-\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1acc14f77c313ee3ebda0be1ff09cf2582535ac3)
![{\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\tan x=\sec ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56556c435405576914949591488481557ba1fccb)
![{\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\csc x=-\csc x\cot x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63aa2ff29eccac409a72678b93aef430e8688b17)
![{\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\sec x=\sec x\tan x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe3613a6869f9e327c8e0b677fa7eb774318de8)
![{\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\cot x=-\csc ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2c993028cfd048ff4ebe190efef63280820ba6)
- For omvendte trigonometriske funksjonar
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ebb7e03a1e3c39bb37f1c1c5cd2754f31ac41c)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f94e76a0f6a3f3ad035e9fdb0631b9978e478f)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/800fa10df1f1af1c75bd75d858ad62d885031035)
- For hyperbolske funksjonar
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555b4c83b6bccb84ebf273ac2d93b852d8bc959d)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989042c1c014757193432235013a8dc198595daa)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh(x)={\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c514e2a5fef1df548d6044f3d1fdc18a62e26fa9)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth(x)=-{\frac {1}{\sinh ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3942f331aad651be0d1288cbfdda23deeaba09b2)
- For omvendte hyperbolske funksjonar
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9da33749b8ccfd537e4a37695868222848a27b)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} (x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440a9d14dc83b4af49f3eff25ae592e0e1525898)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5074835f5ba24742a41d12b42becb5b5aa3989d3)
- Døme 1
La
. Vi finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglane for sum og differanse:
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {d}{dx}}f(x)&={\frac {d}{dx}}(3x^{2}-2x+1)\\&={\frac {d}{dx}}(3x^{2})-{\frac {d}{dx}}(2x)+{\frac {d}{dx}}1\\&=3{\frac {d}{dx}}x^{2}-2{\frac {d}{dx}}x+{\frac {d}{dx}}1\\&=3\cdot 2x-2+0\\&=6x-2\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1506d2bf258e45c94cf03cf562aa510deb20b249)
- Døme 2
La
. Her må vi bruke produktregelen og kjerneregelen:
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {d}{dx}}f(x)&={\frac {d}{dx}}(\sin(x)e^{\cos(x)})\\&=({\frac {d}{dx}}\sin(x))e^{\cos(x)}+\sin(x){\frac {d}{dx}}(e^{\cos(x)})\\&=\cos(x)e^{\cos(x)}+\sin(x)e^{\cos(x)}{\frac {d}{dx}}(\cos(x))\\&=\cos(x)e^{\cos(x)}+\sin(x)e^{\cos(x)}(-\sin(x))\\&=(\cos(x)-\sin ^{2}(x))e^{\cos(x)}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cf7c31b5ed0dff29cc334399c0df48daca90eec)
Derivasjon kan nyttast når ein skal teikne grafar for funksjoner, ved at det kan nyttast til å finne tangentar, ekstrempunkt og vendepunkt.
Å finne tangenten til
i eit punkt[endre | endre wikiteksten]
Om
er deriverbar i
, så er likninga for tangenten til
i
gjeve ved:
.
Kandidatar til minimums- og maksimumspunkt er dei
der
.
Kandidatar til vendepunkt er dei
der
.
Grafen til
krummar oppover når
, og grafen krummar nedover når
.
Hovudideen bak definisjonen av den deriverte er at
er stigningstalet til tangenten til grafen av
i punktet
, og at sekanten gjennom punkta
og
er ei god tilnærming til denne tangenten når
går mot
. Stigningstallet til sekanten er gjeve ved:
![{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd961f9f3df2d2370e2de6fa5e2de6a3614311e)
og vi definerer den deriverte av
i
til å vere grenseverdien
![{\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077183c6f840dc6c695bde7f01222aed5a2bc52d)
dersom denne grenseverdien eksisterer, og vi skriv då
for dette talet. Om grenseverdien ikkje eksisterer er funksjonen
ikkje deriverbar i
.
Ein funksjon
vert kalla deriverbar i punktet
dersom
eksisterer. Ein funksjon vert kalla deriverbar dersom han er deriverbar i alle punkt i definisjonsmengden. Ein funksjon
vert kalla
dersom den deriverte
er ein kontinuerleg funksjon.
Dersom
er ein kontinuerleg funksjon, og deriverbar på det opne intervallet
, så finst eit punkt
mellom
og
slik at:
.